В этой статье мы ответим на вопрос: «Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, если заданы уравнения, определяющие прямую и плоскость»? Начнем с понятия точки пересечения прямой и плоскости. Далее покажем два способа нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости. Для закрепления материала рассмотрим подробные решения примеров.
Навигация по странице.
Точка пересечения прямой и плоскости – определение.
Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
- прямая лежит в плоскости;
- прямая параллельна плоскости;
- прямая пересекает плоскость.
Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости .
Приведем графическую иллюстрацию.
Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.
Введем в трехмерном пространстве Oxyz . Теперь каждой прямой соответствуют уравнения прямой некоторого вида (им посвящена статья виды уравнений прямой в пространстве), каждой плоскости отвечает уравнение плоскости (можете ознакомиться со статьей виды уравнения плоскости), а каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Дальнейшее изложение подразумевает знание всех видов уравнений прямой в пространстве и всех видов уравнения плоскости, а также умение переходить от одного вида уравнений к другому виду. Но не пугайтесь, по тексту мы будем приводить ссылки на необходимую теорию.
Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.
Пример.
Является ли точка М 0 с координатами точкой пересечения прямой и плоскости .
Решение.
Нам известно, что если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.
Таким образом, для решения поставленной задачи нам следует подставить координаты точки М 0 в заданные уравнения прямой и в уравнение плоскости. Если при этом все уравнения обратятся в верные равенства, то точка М 0 является точкой пересечения заданных прямой и плоскости, в противном случае точка М 0 не является точкой пересечения прямой и плоскости.
Подставляем координаты точки :
Все уравнения обратились в верные равенства, следовательно, точка М 0 принадлежит одновременно и прямой и плоскости , то есть, М 0 является точкой пересечения указанных прямой и плоскости.
Ответ:
Да, точка - это точка пересечения прямой и плоскости .
Итак, координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Этим фактом и будем пользоваться при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.
Первый способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы прямая a и плоскость , причем известно, что прямая a и плоскость пересекаются в точке М 0 .
Искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости , как мы уже говорили, удовлетворяют и уравнениям прямой a , и уравнению плоскости , следовательно, они могут быть найдены как решение системы линейных уравнений вида . Это действительно так, так как решение системы линейных уравнений обращает каждое уравнение системы в тождество.
Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями , и .
Решим пример для закрепления материала.
Пример.
Прямая, заданная уравнениями двух пересекающихся плоскостей как , пересекает плоскость . Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Решение.
Требуемые координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему уравнений вида . При этом будем опираться на информацию статьи .
Для начала перепишем систему уравнений в виде и вычислим определитель основной матрицы системы (при необходимости обращайтесь к статье ):
Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому система уравнений имеет единственное решение. Для его отыскания можно воспользоваться любым методом. Мы используем :
Так мы получили координаты точки пересечения прямой и плоскости (-2, 1, 1) .
Ответ:
(-2, 1, 1) .
Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение, если прямая a , определенная уравнениями , и плоскость , заданная уравнением , пересекаются. Если прямая a лежит в плоскости , то система имеет бесконечное множество решений. Если же прямая a параллельна плоскости , то система уравнений решений не имеет.
Пример.
Найдите точку пересечения прямой и плоскости , если это возможно.
Решение.
Оговорка «если это возможно» означает, что прямая и плоскость могут не пересекаться.
. Если эта система уравнений имеет единственное решение, то оно даст нам искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если эта система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то о нахождении координат точки пересечения не может быть и речи, так как прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Основная матрица системы имеет вид , а расширенная матрица - . Определим А
и ранг матрицы Т
:
. То есть, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы и равен двум. Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли можно утверждать, что система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Таким образом, прямая лежит в плоскости , и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.
Ответ:
Невозможно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Пример.
Если прямая пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.
Решение.
Составим систему из заданных уравнений . Для нахождения ее решения используем . Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.
Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.
Ответ:
Прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.
Заметим, что если прямой a соответствуют параметрические уравнения прямой в пространстве или канонические уравнения прямой в пространстве , то можно получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a , и после этого находить координаты точки пересечения прямой a и плоскости разобранным способом. Однако проще использовать другой метод, к описанию которого мы и переходим.
Линия пересечения двух плоскостей - прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α π 1 , f 0 α Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π 1 , (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).
Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π 2 и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).
.
.
Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня
Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.
В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3.11).
.
Рис. 3.10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью
Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.
Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 3.11.
Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А 2 В 2 проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π 2) эти точки представлены проекциями M 2 , N 2 . Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π 1) находятся горизонтальные проекции полученных точек M 1 N 1 . В пересечении горизонтальных проекций прямых А 1 В 1 и M 1 N 1 образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К 1). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К 2).
.
Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости
Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.
На плоскости π 2 рассмотрены две точки NEF и 1АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y N >Y 1), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К 1) закрыта плоскостью DEF на плоскости π 2 (ее проекция К 2 1 2 показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π 1 .
Вопросы для самоконтроля
1) В чем заключается сущность метода конкурирующих точек?
2) Какие свойства прямой вы знаете?
3) Каков алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости?
4) Какие задачи называются позиционными?
5) Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.
Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
1)
проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи
) через данную прямую;
2)
нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
3)
определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.
Пример 1.
На (фиг.250,а) даны плоскость δ
(δ 1
) и прямая АВ
(А 1 В 1
и А 2 В 2
); требуется определить точку их пересечения.
В этом случае нет надобности прибегать к вспомогательной плоскости, так как данная плоскость δ
- горизонтально - проектирующая. По свойству проектирующих плоскостей горизонтальная проекция точки пересечения, лежащая в плоскости δ
, сливается с горизонтальной проекцией δ 1
.
Поэтому точка К 1
пересечения горизонтальной проекции А 1 В 1
прямой АВ
с горизонтальной проекцией δ 1
есть горизонтальная проекция точки пересечения К
; фронтальная проекция К 2
определяется путем проведения вертикальной линии связи до пересечения ее с фронтальной проекцией А 2 В 2
.
Пример 2
. На (фиг.250,б) приведен пример пересечения прямой АВ
с фронтально - проектирующей плоскостью δ
.
Пример 1.
Даны: плоскость общего положения а и прямая общего положения АВ
(А 1 В 1
А 2 В 2
); требуется найти точку их пересечения (фиг.251,а).
Проводим через прямую АВ
какую - либо вспомогательную плоскость, например горизонтально - проектирующую
плоскость δ
(δ 1
), как показано на (фиг.251,б); она пересечет плоскость a
по прямой NM
(N 1 M 1
, N 2 М 2
), которая, в свою очередь, пересечет прямую АВ
(А 1 В 1
А 2 В 2
) в точке С
(С 1 С 2
), что видно на (фиг.251,в). Точка С
есть точка пересечения прямой АВ
с плоскостью а
.
Пример 2.
На (фиг.252) приведен пример нахождения проекций точки пересечения прямой AB
c плоскостью общего положения при помощи горизонтали h
.
Пример 3.
Даны: треугольник ABC
и прямая NM
; требуется определить точку их пересечения (фиг.253,а).
Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость δ
, тогда горизонтальная проекция ог сольется с горизонтальной проекцией N 1 M 1
прямой NM
и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е 1
и F 1
(фиг.253,б). Отрезок Е 1 F 1
будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точки Е 2
и F 2
, проводим через них прямую E 2 F 2
, которая будет фронтальной проекцией линии пересечения.
Прямая E 2 F 2
пересекает прямую N 2 М 2
в точке К 2
. Точка К 2
будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN
с прямой EF
; горизонтальную проекцию K 1
этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи.
Точка К (K 1 , К 2
) будет точкой пересечения данной прямой MN
с данным треугольником ABC
, как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN
пересекается в ней с прямой EF
, лежащей в плоскости треугольника ABC
.
Упражнение 1
Построить комплексный чертеж треугольника ABC
по данным координатам вершин. Найти натуральную величину сторон треугольника и построить его в натуральную величину. По этим же координатам построить наглядное изображение
Упражнение 2
По данным фронтальной проекции многоугольника и горизонтальным проекциям двух смежных сторон его достроить горизонтальную проекцию многоугольника.
В плоскости многоугольника построить проекции произвольного треугольника. Построить точку вне многоугольника, но лежащую в одной плоскости с ним (
Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.
Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.
Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:
- прямая лежит в плоскости;
- прямая параллельна плоскости;
- прямая пересекает плоскость.
Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.
Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости
Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.
Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.
Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.
Пример 1
Вычислить, может ли точка М 0 с координатами - 2 , 3 , - 5 являться точкой пересечения прямой x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 с плоскостью x - 2 y - z + 3 = 0 .
Решение
Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.
Представим координаты точки - 2 , 3 , - 5 и получим:
2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 · 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0
Так как получаем верные равенства, делаем вывод, что точка М 0 - точка пересечения заданной прямой с плоскостью.
Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.
Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.
Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.
Когда задается прямая a с плоскостью α прямоугольной системы координат, известно, что они пересекаются в точке М 0 . Для начала займемся поиском координат заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости, имеющего вид A x + B y + C z + D = 0 с прямой линией a , являющейся пересечением плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Данный способ задания прямой в пространстве рассматривается в статье уравнения прямой и уравнения двух пересекающихся плоскостей.
Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид
A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Решение системы подразумевает обращение каждого тождества в верное равенство. Следует отметить, что при таком решении мы определяем координаты пересечения 3 плоскостей вида A x + B y + C z + D = 0 , A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Для закрепления материала рассмотрим решение данных задач.
Пример 2
Прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 , причем пересекает еще одну 3 x - z + 7 = 0 . Необходимо найти координаты точки пересечения.
Решение
Необходимые координаты получим при составлении и решении системы, имеющей вид x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0 .
Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.
Возьмем систему уравнений вида x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 и произведем вычисления по определителю основной матрицы системы. Получаем, что
∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · 3 + 0 · 5 · 0 - 0 · 0 · 3 - 1 · 2 · 0 - (- 1) · 5 · (- 1) = - 11
Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.
∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · (- 7) + 0 · (- 8) · 0 - - 0 · 0 · (- 7) - (- 3) · 2 · 0 - (- 1) · (- 8) · (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · (- 8) · 3 - 1 · 2 · (- 7) - (- 3) · 5 · (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 · 0 · (- 7) + (- 1) · (- 8) · 3 + (- 3) · 5 · 0 - - (- 3) · 0 · 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1
Отсюда следует, что координаты точки пересечения заданной прямой и плоскости имеет значение (- 2 , 1 , 1) .
Ответ: (- 2 , 1 , 1) .
Система уравнений вида A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 имеет одно единственное решение. Когда прямая a определена такими уравнениями, как A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а плоскость α задается уравнением A x + B y + C z + D = 0 , то они пересекаются. Когда прямая лежит в плоскости, система выдает бесконечное множество решений. При их параллельности уравнение решений не имеет, так как нет общих точек пересечения.
Пример 3
Найти точку пересечения прямой z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 и плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 .
Решение
Заданные уравнения необходимо преобразовать в систему z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0 . Когда она будет иметь единственное решение, то получим искомые координаты пересечения в точке. При условии, если нет решений, то они параллельны, либо прямая лежит в этой же плоскости.
Получим, что основная матрица системы – A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 , расширенная – T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1 . Нам необходимо определить ранг матрицы A и T методом Гаусса:
1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0
Тогда получим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Применим теорему Кронекера-Капелли, отсюда видно, что у системы есть бесконечное множество решений. Получим, что прямая z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 принадлежит плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 , что говорит об их невозможности пересечения и наличии общей точки.
Ответ: нет координат точки пересечения.
Пример 4
Задано пересечение прямой x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 и плоскости x + 4 y - 7 z + 2 = 0 , найти координаты точки пересечения.
Решение
Необходимо собрать заданные уравнения в систему вида x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 . Для решения применяем метод Гаусса. С его помощью мы определим все имеющиеся решения коротким путем. Для этого запишем
x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25
Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.
Делаем вывод, что прямая x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 с плоскостью x + 4 y - 7 z + 2 = 0 не имеют пересечений. Отсюда следует, что невозможно найти координаты точки, так как они не пересекаются.
Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.
Когда прямая имеет задана параметрическим или каноническим уравнением, то отсюда можно найти уравнение пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a , после чего искать необходимые координаты точки пересечений. Имеется еще один метод, который применяется для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.
Второй способ нахождения точки начинается с задания прямой a , пересекающей плоскость α в точке М 0 . Необходимо найти координаты заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости A x + B y + C z + D = 0 . Прямую а определяем параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .
Когда в уравнение A x + B y + C z + D = 0 производится подстановка x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , выражение примет вид уравнения с неизвестной λ . Необходимо разрешить его относительно λ , тогда получим λ = λ 0 , которое соответствует координатам точки, в которой они пересекаются. Вычисление координат точки производится из x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .
Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.
Пример 5
Найти координаты точки пересечения прямой x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ , λ ∈ R с плоскостью x + 4 y + z - 2 = 0 .
Решение
Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что
1 + 4 · λ + 4 · 7 - 7 · λ + 2 - 3 · λ - 2 = 0 ⇔ - 27 · λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1
Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой, используя параметрические уравнения, со значением λ = 1 .
x = - 1 + 4 · 1 y = 7 - 7 · 1 z = 2 - 3 · 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1
Ответ: (3 , 0 , - 1) .
Когда прямая вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R принадлежит плоскости A x + B y + C z + D = 0 , тогда необходимо подставить туда уравнение плоскости выражения x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , тогда получим тождество такого вида 0 ≡ 0 . При параллельности плоскости и прямой получаем неверное равенство, так как нет точек пересечения.
Если прямая задана каноническим уравнением, имеющим вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , тогда необходимо переходить от канонических к параметрическим при поиске координат точки пересечения прямой с плоскостью A x + B y + C z + D = 0 , то есть получим x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ и применим необходимы способ для нахождения координат точки пересечения заданной прямой и плоскости в пространстве.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.
Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)
1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β π 2 , l "" f оβ , f оβ – собирающий след, h оβ х (рис.71).
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М"=h оα ∩ h оβ , N""= f оβ ∩ f оα (рис.72).
3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К"=М"N"∩l ", К"" – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К" и l "" .
4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.
Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).
При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а .
Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).
Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π 1 .l " h оβ , h оβ – собирающий след, f оβ х (рис.75).
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М"=А"С"∩ hоβ М"" А""С"" и N"=В"С"∩ hоβ N"" В""С"" (рис. 76).
3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К""= М""N""∩l"". К" находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К"" и М"N" .
4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.
Определяем видимость относительно плоскости π 2 .Отметим фронтальную проекцию 1"" совпадающую с 2"" . Горизонтальную проекцию 2" отметим на А"С" , а 1" на l" . Горизонтальная проекция 1" лежит перед 2" 2"" не видима относительно π 2 . Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π 2 , следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2"" до К"" видима, в точке К"" видимость меняется на противоположную.
Определим видимость прямой l относительно плоскости π 1 . Отметим горизонтальную проекцию 3" , совпадающую с горизонтальной проекцией М". М"" А""С"" уже отмечена, 3"" l" ". Фронтальная проекция М"" лежит выше фронтальной проекции 3"" , следовательно, точка М видима относительно π 1 . Точка 3 лежит на l , следовательно, от М"≡3" до К" , горизонтальная проекция l" невидима. В горизонтальной проекции К" видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.